教師支招：數列也是每年高考必走的“橋梁”

　　四方面分析為考生謀劃“過橋策略”

　　數列一章，在中學數學中地位非常重要，它是銜接初等數學和高等數學的橋梁，是高考每年必考的重要內容。內容涉及到數列概念、等差數列和等比數列通項及求和、數學歸納法和數列極限等；它滲透了分類討論和類比、歸納等重要的數學思想。本文結合近幾年高考數學題，從四個方面對數列進行分析，希望能對本屆考生數列復習提供參考。

　　關于函數思想

　　數列可看作特殊的函數，在復習中，處理有些數列問題要滲透函數觀點，但注意它們的區別。

　　例1：數列{an}中，an=n2+n為單調遞增數列，求的取值范圍。

　　解答：可仿照研究函數單調性的思想，利用an+1＞an對n∈N恒成立，可求出＞-3

　　例2：已知數列{an}為等差數列，a1＞0，S9=S17，n=?，Sn最大，最大為多少？

　　解答：借助二次函數，由已知a1＞0，S9=S17，公差顯然小于0，則點(n,Sn)所對應的函數圖象為開口向下的拋物線，利用二次函數知識，n=13，Sn取得最大值，最大值169/25a1

　　基本量問題

　　在等差(比)數列中，常會在首項a1，第n項an，項數n，公差(比)d(q)，前n項和Sn之間，給出一些已知條件，從而得出這五個量之間的某些關系，連同數列的通項公式及前n項和公式，可以求出其他的一些量，對于這種解題的方法應能做到熟練掌握，但在具體解決的過程中，選擇合適的公式和處理技巧也非常重要。

　　例3：已知等比數列{an}，a3=11/2，S3＝41/2，求a1與公比q。

　　分析：如果用通項及求和公式(對q分q=1和q≠1討論)，顯得繁瑣；但如果采用方程組a1q2=11/2a1+a1q+a1q2=41/2，或a3/q2+a3/q+a3=41/2比較方便，解得a1=11/2，q=1或a1=6，q=-1/2

　　數列中的運算

　　已知數列{an}和{bn}都是等比數列，那么{an·bn｝，｛an3｝，｛1/bn｝等均成等比數列，但{an+bn｝不一定成等比數列，只有當這兩個數列的公比相等，并且a1+b1≠0，對應的和數列才成等比數列。

　　類比：例4:已知數列{an}和{bn}都是等差數列，那么{an+bn｝，{kan｝，{pan+qbn}等均成等差數列，但{an·bn｝不一定成等差數列，我們可以研究兩個等差數列的和數列仍為等差數列的條件。

　　解答：可從特殊入手，不妨設等差數列{an}和{bn}的公差分別為d1,d2，{an·bn｝的前三項依次為a1b1,(a1+d1)(b1+d2),(a1+2d1)(b1+2d2)，由已知，它們成等差數列，即2(a1+d1)(b1+d2)=a1b1+(a1+2d1)(b1+2d2)，得d1·d2=0，即等差數列{an}和{bn}至少有一個是常數列，當數列{an}和{bn}有一個是常數列，即形如{kan｝，顯然它是等差數列。從上述過程中，我們知道，如果兩個等差數列均不是常數列，則其積數列一定不構成等差數列。

　　研究性學習

　　近幾年在高考試卷中出現一些研究性問題，如數列的“基本量”問題，等和與等積數列，絕對差數列，對稱數列等問題。同學們在解決此類問題時，要從題目給出的語言情景入手，緊扣定義，循序漸進地解決問題。

　　例5:若有窮數列a1,a2…an(n是正整數)，滿足a1=an,a2=an-1…an=a1即a1=an-i+1(i是正整數，且1≤i≤n)，就稱該數列為“對稱數列”。

　　(3)對于給定的正整數m＞1，試寫出所有項數不超過2m的對稱數列，使得1,2,22…2m-1成為數列中的連續項；當m＞1500時，試求其中一個數列的前2008項和S2008。

　　命題人出題的用意，要求學生在“對稱數列”的背景之下，結合等差和等比數列，解決有關問題，第三問實際上是個分段數列求其前n項和Sn的問題，滲透了分類討論的數學思想，但此問高考得分率不夠理想，反映學生在處理新問題的能力有待提高。

　　事實上，在數列的復習中，既要重視公式的應用，還要注意計算的合理性。在處理某些數列問題時，要滲透函數觀點，借助函數思想幫助解決；同時要注意新情景下的數列問題研究，有意識建立與等差數列、等比數列的聯系，探討通項和求和問題；數學思想如分類思想、特殊化思想等在數列中的考查，也是同學們在復習中必須重視的問題。

　　上大附中高級教師 王寶玉