高三數學指導：掌握常規數學思維模式(嘉?

　　特級教師 劉勛

　　文科考生說，我們不考“數歸法”，我告訴你：“歸納——猜想——驗證”，這是一個解答題、體現思維能力的好的思維模式。

　　分析、討論、判斷、取舍；歸納——猜想——驗證；一般——特殊相互轉化，這些最基礎、最常規的思維模式，妙用無窮，“看似尋常最奇崛，成為容易卻艱辛”（王安石）。

　　2、方程式←→函數化

　　方程問題函數化，函數問題方程化，這兩化把方程的思想，函數思想融為一體，相互轉化，使“利用函數性質解題”這個數學的大課題生輝，諸如不等←→函數增、減等一系列的簡單思維模式到處可用。

　　二次函數y=ax2+bx+c（a≠0）求極值方法之一是判別式法（函數問題方程化）∵方程ax2+bx+（c-y）=0有實根，∴△=b2-4a（c-y）≥0

　　4ay≥4ac-b2 a>0時 y≥■即

　　y小=■；a<0時，y≤■

　　即y大=■

　　例2.已知A、B是△ABC的兩個內角，且tanA、tanB是方程x2+mx+m+1=0的兩個實根，求實數m的取值范圍。

　　韋達定理，和積關系→常見轉化方式

　　■

　　∴A+B=45°→x1=tanA<1，x2=tanB<1

　　且都大于0。

　　難點如何定m的范圍：函數化。

　　f（x）=x2+mx+m+1有二正根且都在（0，1）之間的條件：（△≥0不能保證根的范圍）

　　對照圖象：

　　■

　　（為什么不必△≥0？你能很清晰嗎？）

　　解得：-1

　　這是典型的方程問題函數化，確定參數取值范圍的試題。

　　例3.（2008上海 理11）方程x2+■x-1=0的解可視為函數y=x+■的圖像與函數y=■的圖像交點的橫坐標，若x4+ax-4=0的各個實根x1，x2，…，xk（k≤4），所對應的點（x1，■）（i=1，2，…，k）均在直線y=x的同側，則實數a的取值范圍是_________。

　　答案：（-∞，-6）∪（6，+∞）

　　●解法1：依題意x4+ax-4=0←→x3+a=■ 由圖示及奇函數y=x3的圖像關于原點對稱的性質，得知當y=x3+a的圖像從過B點起，向下平移或向上平移時，交點均在y=x同側。

　　∵A（-2，2），B（2，2），∴把A、B坐標代入y=x3+a得a=-6或a=6，故a<-6或a>6即為所求。

　　●解法2：依題意，結合圖形分析，■，得y=a+8或y=a-8

　　分別令y<2或y>-2，得a<-6或a>6。

　　[點撥評析]作為一道綜合性較強、分值不高的填空題，從“數形結合”的思想出發，通過作圖開辟解題思路，簡明、具體。試題本身就在提示你，“數形結合”可以作為一種思維模式，實現方程化←→函數化的完美結合。

　　解題的通式、通法都可以從中提煉出可操作的模式，形成思維規律。如解不等式sinx>■。如下思維操作定能“做一題，通一類”。

　　1.結合周期T=2π，可先找x∈（0，2π）的解集，再一般化；2.結合函數值的符號先肯定或否定兩個區間：sinx>■，Ⅲ、Ⅳ象限均不是解；3.結合單位圓先找相等的界限sinx=■，x=■或x=■；4.根據函數單調性，作取舍：■