幾個重要不等式(一)

　　幾個重要不等式(一)

　　一、平均值不等式

　　設a1,a2,…,an是n個正實數，則，當且僅當a1=a2=…=an時取等號

　　1.二維平均值不等式的變形

　　(1)對實數a,b有a2+b232ab(2)對正實數a,b有

　　(3)對b>0，有，(4)對ab2>0有，

　　(5)對實數a,b有a(a-b)3b(a-b)(6)對a>0,有

　　(7)對a>0,有(8)對實數a，b有a232ab-b2

　　(9)對實數a，b及l10，有

　　二、例題選講

　　例1.證明柯西不等式

　　證明：法一、若或命題顯然成立，對10且10，取

　　代入(9)得有

　　兩邊平方得

　　法二、，即二次式不等式恒成立

　　則判別式

　　例2.已知a>0,b>0,c>0,abc=1,試證明：

　　(1)

　　(2)

　　證明：(1)左=[]

　　=

　　3

　　(2)由知

　　同理：

　　相加得：左3

　　例3.求證：

　　證明：法一、取，有

　　a1(a1-b)3b(a1-b),a2(a2-b)3b(a2-b),…,an(an-b)3b(an-b)

　　相加得(a12+a22+…+an2)-(a1+a2+…+an)b3b[(a1+a2+…+an)-nb]30

　　所以

　　法二、由柯西不等式得：(a1+a2+…+an)2=((a1×1+a2×1+…+an×1)2￡(a12+a22+…+an2)(12+12+…+12)

　　=(a12+a22+…+an2)n,

　　所以原不等式成立

　　例4.已知a1,a2,…,an是正實數，且a1+a2+…+an<1，證明：

　　證明：設1-(a1+a2+…+an)=an+1>0,

　　則原不等式即nn+1a1a2…an+1￡(1-a1)(1-a2)…(1-an)

　　1-a1=a2+a3+…+an+13n

　　1-a2=a1+a3+…+an+13n

　　…………………………………………

　　1-an+1=a1+a1+…+an3n

　　相乘得(1-a1)(1-a2)…(1-an)3nn+1

　　例5.對于正整數n，求證：

　　證明：法一、

　　>

　　法二、左=

　　=

　　例6.已知a1,a2,a3,…,an為正數，且，求證：

　　(1)

　　(2)

　　證明：(1)

　　相乘左邊3=(n2+1)n

　　證明(2)

　　左邊=-n+2(

　　=-n+2×[(2-a1)+(2-a2)+…+(2-an)](

　　3-n+2×n