2000中國數學奧林匹克（第十五屆全國中學生數學冬令營）
2009-08-31 12:09:14網絡來源
2000中國數學奧林匹克（第十五屆全國中學生數學冬令營）
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第一天
一、設a、b、c為△ABC的三條邊，a≤b≤c，R和r分別為△ABC的外接圓半徑和內切圓半徑.令f=a+b－2R－2r，試用角C的大小來判定f的符號.
二、數列{an}定義如下：a1=0，a2=1，an=(1/2)nan-11+(1/2)n(n－1)an-22+(－1)n(1－n/2)，n≥3.試求fn=an+2Cn1an-11+3Cn2an-22+…+（n－1）Cnn-2-2a2+nCnn-1-1a1的最簡表達式.
三、某乒乓俱樂部組織交流活動，安排符合以下規則的雙打賽程表.規則為：
（i）每名參加者至多屬于兩個對子；
（ii）任意兩個不同對子之間至多進行一次雙打；
（iii）凡表中同屬一對的兩人就不在任何雙打中作為對手相遇.
統計各人參加的雙打次數，約定將所有不同的次數組成的集合稱為“賽次集”.
給定由不同的正整數組成的集合A={a1，a2，…，ak}，其中每個數都能被6整除.試問最少必須有多少人參加活動，才可以安排符合上述規則的賽程表，使得相應的賽次集恰為A.請證明你的結論.
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第二天
四、設n≥2.對n元有序實數組A=（a1，a2，…，an），令bk=ai，k=1，2，…，n.
稱B=（b1，b2，…，bn）為A的“創新數組”；稱B中的不同元素個數為A的“創新階數”.
考察1，2，…，n的所有排列（將每種排列都視為一個有序數組），對其中創新階數為2的所有排列，求它們的第一項的算術平均值.
五、若對正整數n，存在k，使得n=n1n2…nk=－1，其中n1，…，nk都是大于3的整數，則稱n具有性質P.求具有性質P的所有數n.
六、某次考試有5道選擇題，每題都有4個不同答案供選擇.每人每題恰選1個答案.在2000份答卷中發現存在一個n，使得任何n份答卷中都存在4份，其中每兩份的答案都至多3題相同.求n的最小可能值.
