2000年全國高中數學聯賽試題

一、　　　　　　 選擇題（本題滿分36分，每小題6分）

1．設全集是實數，若A={x|≤0}，B={x|=},則是(　　 )
(A){2} 　　(B){-1} 　　　　(C){x|x≤2}　　 　　(D)

2．設sina＞0,cosa＜0,且sin＞cos,則的取值范圍是(　　 )
(A)(2kp+,2kp+), kÎZ　 　　　　　(B)(+,+),kÎZ
(C)(2kp+,2kp+p),kÎZ　　　　　　(D)(2kp+,2kp+)(2kp+,2kp+p),kÎZ

3．已知點A為雙曲線x²-y²=1的左頂點，點B和點C在雙曲線的右分支上，△ABC是等邊三角形，則△ABC的面積是(　　 )
(A)　　 　　(B)　　　　　　(C)3　　 　　　(D)6

4．給定正數p,q,a,b,c，其中p¹q，若p,a,q是等比數列，p,b,c,q是等差數列，則一元二次方程bx²-2ax+c=0(　　 )
(A)無實根　 (B)有兩個相等實根　 (C)有兩個同號相異實根　 (D)有兩個異號實根

5．平面上整點（縱、橫坐標都是整數的點）到直線的距離中的最小值是(　　 )
(A)　　 　　(B)　　　　　(C)　　　　　(D)

6．設，則以w,w³,w⁷,w⁹為根的方程是(　　 )
(A)x⁴+x³+x²+x+1=0　　　 　　　　　(B) x⁴-x³+x²-x+1=0
(C) x⁴-x³-x²+x+1=0　　　 　　　　　(D) x⁴+x³+x²-x-1=0

二、填空題（本題滿分54分，每小題9分）

7．arcsin(sin2000°)=__________.

8．設a_n是(3-的展開式中x項的系數(n=2,3,4,…)，則)=________.

9．等比數列a+log₂3,a+log₄3,a+log₈3的公比是____________.

10．　　　　　　在橢圓(a＞b＞0)中，記左焦點為F，右頂點為A，短軸上方的端點為B.若該橢圓的離心率是，則∠ABF=_________.

11．　　　　　　一個球與正四面體的六條棱都相切，若正四面體的棱長為a，則這個球的體積是________.

12．　　　　　　如果：(1)a,b,c,d都屬于{1,2,3,4}；(2)a¹b,b¹c,c¹d,d¹a；(3)a是a,b,c,d中的最小值，　　　　那么，可以組成的不同的四位數的個數是_________.

三、解答題(本題滿分60分，每小題20分)

13．　　　　　　設S_n=1+2+3+…+n,nÎN，求f(n)=的最大值.

14．　　　　　　若函數在區間[a,b]上的最小值為2a，最大值為2b，求[a,b].

15．　　　　　　已知C₀:x²+y²=1和C₁:(a＞b＞0)。試問：當且僅當a,b滿足什么條件時，對C₁上任意一點P，均存在以P為項點,與C₀外切,與C₁內接的平行四邊形？并證明你的結論。

【加試】（10月15日上午10∶00-12∶00）

一．（本題滿分50分）

如圖，在銳角三角形ABC的BC邊上有兩點E、F，滿足∠BAE=∠CAF，作FM⊥AB，FN⊥AC（M、N是垂足），延長AE交三角形ABC的外接圓于D．證明：四邊形AMDN與三角形ABC的面積相等．

二．（本題滿分50分）

設數列{a _n}和{b _n }滿足，且

證明a _n（n=0，1，2，…）是完全平方數．

三．（本題滿分50分）

有n個人，已知他們中的任意兩人至多通電話一次，他們中的任意n－2個人之間通電話的次數相等，都是3 ^k次，其中k是自然數，求n的所有可能值．