數學奧林匹克高中訓練題（一）
2009-08-31 12:27:39網絡來源
| 數學奧林匹克高中訓練題（一） |
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第一試 一、選擇題（每小題6分，共36分） 1、已知sina·cosb= – (A)[–1， 2、一個人以勻速6m/s去追停在交通燈前的汽車，當他離汽車25m時，交通燈由紅 變綠，汽車以1m/s2的加速度勻加速開走，那么………………………………（ ） (A)人可在7s內追上汽車 (B)人可在10s內追上汽車 (C)人追不上汽車，其間最近距離為5m (D)人追不上汽車，其間最近距離為7m 3、已知a、b是不相等的正數，在a、b之間插入兩組數 x1,x2,…,xn, y1,y2,…,yn, 使a,x1,x2,…,xn,b成等差數列，a,y1,y2,…,yn,b成等比數列.則下列不等式 （1） （2） （3） （4） (A)（1）、（3） (B)（1）、（4） (C)（2）、（3） (D)（2）、（4）
(A)（2， (C)（3，
5、已知直線l1:y=ax+3a+2與l2:y= –3x+3的交點在第一象限.則a的取值范圍為（ ） (A)（– 6、已知a、b、c三人的年齡次序滿足： （1）如果b不是年齡最大，那么a年齡最小； （2）如果c不是年齡最小，那么a年齡最大. 則這三個人的年齡從大到小為…………………………………………………（ ） (A)bac (B)cba (C)abc (D)acb 二、填空題（每小題9分，共54分） 1、不等式(x–1) 2、拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)與x軸交于A、B兩點，則以AB為直徑的圓的方程為 . 3、圓錐的母線長為l，它和底面所成的角為θ，這個圓錐的內接正方體的棱長為 （正方體有4個頂點在圓錐底面上，另4個頂點在圓錐側面上）.
附近帶球過人沿直線（圖2中CD）向前推進，于 點C起腳射門。請給出使命中角∠ACB最大的一 個充分條件 （不增加輔助線）. 5、觀察下列等式： 32+42=52，102+112+122=132+142，212+222+232+242=252+262+272， 362+372+382+392+402=412+422+432+442…… 其第k個等式為 . 6、集合A={x1,x2,x3,x4,x5}，計算A中的二元子集兩元素之和組成集合B={3，4，5，6， 7，8，9，10，11，13}.則A= .
三、（滿分20分）橢圓 內的點作垂線交橢圓于兩點 C、D.連AC、A1D相交于P. 求點P所在的曲線方 程.
四、（滿分20分）在直三棱住ABC–A1B1C1中，BC1⊥A1C，BC1⊥AB1.求證：△ABC 為等腰三角形.
五、（滿分20分）對于給定的角a1，a2，…，an，試討論方程xn+xn–1sina1+xn–2. sina2+…+xsinan–1+sinan=0是否有模大于2的復數根？
第二試 一、（滿分50分）在銳角△ABC中，外接圓半徑為R=1，∠A、∠B、∠C的對邊為 a、b、c.求證：
二、（滿分50分）設S為{1，2，…，50}的具有下列性質的子集，S中任意兩個不同 元素之和不被7整除.則S中元素最多可能有幾個？
三、（滿分50分）一些選手參加競賽，其中有些選手互相認識，有些選手互相不認識， 而任何兩個不相識的選手都恰有兩個共同的熟人.若A與B認識，但沒有共同的 熟人，求證：A、B認識的熟人一樣多. |
則cosa·sinb的取值范圍為……………………………（ ）
] (B)[–
] (C)[–
] (D)[–
]
中，為真命題的是……………………（ ）
4、已知長方體的三條面對角線長為5，4，x.則x的取值范圍為………………（ ）
） (B)（3，9）
） (D)（2，9）
(B)（–∞，
） (C)（–3，
(D)（–
+∞）
≥0的解集為 .
4、在足球比賽中，甲方邊鋒從乙方球門（圖2中AB）
的兩個端點為A(a,0)、A1(–a,0),過線段AA1
