28屆美國數學奧林匹克競賽

第一部分（上午9：00-12：00）

1999年4月27

1． n×n的方格棋盤上放著一些棋子，滿足如下兩個條件：

（a）　　　 放有棋子的方格和沒有放棋子的方格有一條公共邊。

（b）　　　 任意給定兩個放有棋子的方格，可以標出一條路線，從其中一個給定的方格出發，經過所有放有棋子的方格，最后到達另一個給定的方格。如圖：

求證：棋盤上至少有（n²-2）/3個棋子。

2． 求證：對于循環四邊形ABCD有：|AB-CD|+|AD-BC|≥2|AC-BD|。

3． 已知：p是大于2的質數，整數a、b、c、d不能被p整除，

且有{ra/p}+{rb/p}+{rc/p}+{rd/p}=2 ，其中r是任一不能被p整除的整數。

求證：在（a+b）、（a+c）、（a+d）、（b+c）、（b+d）、（c+d）6個數中至少有兩個能被p整除。

第二部分（下午1：00-4：00）

1999年4月27

4． 已知：實數a₁a₂ 。。。a_n（n≥3）滿足：a₁₊a₂ +。。。+a_n≥n，a₁²₊a₂ ²+。。。+a_n²≥n²。

求證：max（a₁a₂ 。。。a_n）≥2。

5． Y2K游戲：有2000千個方格排成一排,兩個玩家輪流在方格里寫S或O，誰先在連續的三個方格里寫出SOS，誰就獲勝；如果沒有人寫出算平局。

證明：后寫的人有勝算。

6． 已知：等腰梯形ABCD，AB//CD，△BCD的內切圓與CD交于E點；F是∠DAC的平分線上一點，且EF⊥CD；△ACF的外接圓與CD交于C和G；

求證：△AFG是等腰三角形。

（