高考數(shù)學二輪復習冪函數(shù)專題總結

　　定義：

　　形如y=x^a(a為常數(shù))的函數(shù)，即以底數(shù)為自變量冪為因變量，指數(shù)為常量的函數(shù)稱為冪函數(shù)。

　　定義域和值域：

　　當a為不同的數(shù)值時，冪函數(shù)的定義域的不同情況如下：如果a為任意實數(shù)，則函數(shù)的定義域為大于0的所有實數(shù)；如果a為負數(shù)，則x肯定不能為0，不過這時函數(shù)的定義域還必須根[據(jù)q的奇偶性來確定，即如果同時q為偶數(shù)，則x不能小于0，這時函數(shù)的定義域為大于0的所有實數(shù)；如果同時q為奇數(shù)，則函數(shù)的定義域為不等于0的所有實數(shù)。當x為不同的數(shù)值時，冪函數(shù)的值域的不同情況如下：在x大于0時，函數(shù)的值域總是大于0的實數(shù)。在x小于0時，則只有同時q為奇數(shù)，函數(shù)的值域為非零的實數(shù)。而只有a為正數(shù)，0才進入函數(shù)的值域

　　性質：

　　對于a的取值為非零有理數(shù)，有必要分成幾種情況來討論各自的特性：

　　首先我們知道如果a=p/q，q和p都是整數(shù)，則x^(p/q)=q次根號(x的p次方)，如果q是奇數(shù)，函數(shù)的定義域是R，如果q是偶數(shù)，函數(shù)的定義域是[0，+∞)。當指數(shù)n是負整數(shù)時，設a=-k，則x=1/(x^k)，顯然x≠0，函數(shù)的定義域是(-∞，0)∪(0，+∞).因此可以看到x所受到的限制來源于兩點，一是有可能作為分母而不能是0，一是有可能在偶數(shù)次的根號下而不能為負數(shù)，那么我們就可以知道：

　　排除了為0與負數(shù)兩種可能，即對于x>0，則a可以是任意實數(shù)；

　　排除了為0這種可能，即對于x<0和x>0的所有實數(shù)，q不能是偶數(shù)；

　　排除了為負數(shù)這種可能，即對于x為大于且等于0的所有實數(shù)，a就不能是負數(shù)。

　　總結起來，就可以得到當a為不同的數(shù)值時，冪函數(shù)的定義域的不同情況如下：

　　如果a為任意實數(shù)，則函數(shù)的定義域為大于0的所有實數(shù)；

　　如果a為負數(shù)，則x肯定不能為0，不過這時函數(shù)的定義域還必須根據(jù)q的奇偶性來確定，即如果同時q為偶數(shù)，則x不能小于0，這時函數(shù)的定義域為大于0的所有實數(shù)；如果同時q為奇數(shù)，則函數(shù)的定義域為不等于0的所有實數(shù)。

　　在x大于0時，函數(shù)的值域總是大于0的實數(shù)。

　　在x小于0時，則只有同時q為奇數(shù)，函數(shù)的值域為非零的實數(shù)。

　　而只有a為正數(shù)，0才進入函數(shù)的值域。

　　由于x大于0是對a的任意取值都有意義的，因此下面給出冪函數(shù)在第一象限的各自情況.

　　可以看到：

　　(1)所有的圖形都通過(1，1)這點。

　　(2)當a大于0時，冪函數(shù)為單調遞增的，而a小于0時，冪函數(shù)為單調遞減函數(shù)。

　　(3)當a大于1時，冪函數(shù)圖形下凹；當a小于1大于0時，冪函數(shù)圖形上凸。

　　(4)當a小于0時，a越小，圖形傾斜程度越大。

　　(5)a大于0，函數(shù)過(0，0)；a小于0，函數(shù)不過(0，0)點。

　　(6)顯然冪函數(shù)無界。

　　1.冪函數(shù)解析式的右端是個冪的形式。冪的底數(shù)是自變量，指數(shù)是常數(shù)，可以為任何實數(shù)；與指數(shù)函數(shù)的形式正好相反。

　　2冪函數(shù)的圖像和性質比較復雜，高考只要求掌握指數(shù)為1、2、3、-1、?時冪函數(shù)的圖像和性質。

　　3了解其它冪函數(shù)的圖像和性質，主要有：

　　①當自變量為正數(shù)時，冪函數(shù)的圖像都在第一象限。指數(shù)為負數(shù)的冪函數(shù)都是過點(1，1)的減函數(shù)，以坐標軸為漸近線，指數(shù)越小越靠近

　　x軸。指數(shù)為正數(shù)的冪函數(shù)都是過原點和(1，1)的增函數(shù)；在x=1的右側指數(shù)越大越遠離x軸。

　　②冪函數(shù)的定義域可以根據(jù)冪的意義去求出：要么是x≥0，要么是關于原點對稱。前者只在第一象限有圖像；后者一定具有奇偶性，利用對稱性可以畫出二或三象限的圖像。注意第四象限絕對不會有圖像。

　　③定義域關于原點對稱的冪函數(shù)一定具有奇偶性。當指數(shù)是偶數(shù)或分子是偶數(shù)的分數(shù)時是偶函數(shù)；否則是奇函數(shù)。

　　4冪函數(shù)奇偶性的一般規(guī)律：

　　⑴指數(shù)是偶數(shù)的冪函數(shù)是偶函數(shù)。

　　⑵指數(shù)是奇數(shù)的冪函數(shù)是奇函數(shù)。

　　⑶指數(shù)是分母為偶數(shù)的分數(shù)時，定義域x>0或x≥0，沒有奇偶性。

　　⑷指數(shù)是分子為偶數(shù)的分數(shù)時，冪函數(shù)是偶函數(shù)。

　　⑸指數(shù)是分子分母為奇數(shù)的分數(shù)時，冪函數(shù)是奇數(shù)函數(shù)。