高中數學 圓的周長計算公式

高中數學 圓的周長計算公式

在古代，這個問題幾乎是依賴于對實驗的歸納。人們在經驗中發現圓的周長與直徑有著一個常數的比，并把這個常數叫做圓周率(西方記做π)。于是自然地，圓周長就是：C = π ×d 或者C=2×π×r(其中d是圓的直徑，r是圓的半徑)。

圓周率

后來的數學家們就想辦法算出這個π的具體值，數學家劉徽用的是“割圓術”的方法，也就是用圓的內接正多邊形和外切正多邊形的周長逼近圓周長，求得圓接近192邊型，求得圓周率大約是3.14。[1]

割圓術的大致方法在中學的數學教材上就有。然而必須看到，它很大程度上只是計算圓周率的方法，而圓周長是C = π * d似乎已經是事實了，這一方法僅僅是定出π的值來。仔細想想就知道這樣做有問題，因為他們并沒有從邏輯上證明圓的周長確實正比于直徑，更進一步說他們甚至對周長的概念也僅是直觀上的、非理性的。

圓周率的推導過程

真正從理論上嚴密推導圓的周長必須依賴近代的分析數學，包括微積分的使用才行。

推導圓周長最簡潔的辦法是用積分。

在平面直角坐標下圓的方程是：

這可以寫成參數方程：

x = r * Cos t

y = r * Sin t

t∈[0, 2π]

于是圓周長就是

C = ∫√( (x'(t))^2 + (y'(t))^2 ) dt，t從0積到2π.

結果自然就是C = 2π * r

(注：三角函數一般的定義是依賴于圓的周長或面積的，為了避免邏輯上的循環論證，可以把三角函數按收斂的冪級數或積分來定義而不依賴于幾何，此時圓周率就不是由圓定義的常數，而是由三角函數周期性得到的常數)