高三數學教案：《三角函數的圖象與性質》教學設計

　　本文題目：高三數學教案：三角函數的圖象與性質

　　●知識梳理

　　1.三角函數的圖象和性質

　　函 數

　　性 質 y=sinx y=cosx y=tanx

　　定義域

　　值域

　　圖象

　　奇偶性

　　周期性

　　單調性

　　對稱性

　　注：讀者自己填寫.

　　2.圖象與性質是一個密不可分的整體，研究性質要注意聯想圖象.

　　●點擊雙基

　　1.函數y=sin( -2x)+sin2x的最小正周期是

　　A.2π B.π C. D.4π

　　解析：y= cos2x- sin2x+sin2x= cos2x+ sin2x=sin( +2x)，T=π.

　　答案：B

　　2.若f(x)sinx是周期為π的奇函數，則f(x)可以是

　　A.sinx B.cosx C.sin2x D.cos2x

　　解析：檢驗.

　　答案：B

　　3.函數y=2sin( -2x)(x∈[0，π])為增函數的區間是

　　A.[0， ] B.[ ， ]

　　C.[ ， ] D.[ ，π]

　　解析：由y=2sin( -2x)=-2sin(2x- )其增區間可由y=2sin(2x- )的減區間得到，即2kπ+ ≤2x- ≤2kπ+ ，k∈Z.

　　∴kπ+ ≤x≤kπ+ ，k∈Z.

　　令k=0，故選C.

　　答案：C

　　4.把y=sinx的圖象向左平移 個單位，得到函數____________的圖象;再把所得圖象上的所有點的橫坐標伸長到原來的2倍，而縱坐標保持不變，得到函數____________的圖象.

　　解析：向左平移 個單位，即以x+ 代x，得到函數y=sin(x+ )，再把所得圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的2倍，即以 x代x，得到函數：y=sin( x+ ).

　　答案：y=sin(x+ ) y=sin( x+ )

　　5.函數y=lg(cosx-sinx)的定義域是_______.

　　解析：由cosx-sinx>0 cosx>sinx.由圖象觀察，知2kπ-

　　答案：2kπ-

　　●典例剖析

　　【例1】 (1)y=cosx+cos(x+ )的最大值是_______;

　　(2)y=2sin(3x- )的圖象的兩條相鄰對稱軸之間的距離是_______.

　　剖析：(1)y=cosx+ cosx- sinx

　　= cosx- sinx= ( cosx- sinx)

　　= sin( -x).

　　所以ymax= .

　　(2)T= ，相鄰對稱軸間的距離為 .

　　答案：

　　【例2】 (1)已知f(x)的定義域為[0，1)，求f(cosx)的定義域;

　　(2)求函數y=lgsin(cosx)的定義域.

　　剖析：求函數的定義域：(1)要使0≤cosx≤1，(2)要使sin(cosx)>0，這里的cosx以它的值充當角.

　　解：(1)0≤cosx<1 2kπ- ≤x≤2kπ+ ，且x≠2kπ(k∈Z).

　　∴所求函數的定義域為{x|x∈[2kπ- ，2kπ+ ]且x≠2kπ，k∈Z｝.

　　(2)由sin(cosx)>0 2kπ

　　評述：求三角函數的定義域，要解三角不等式，常用的方法有二：一是圖象，二是三角函數線.

　　【例3】 求函數y=sin6x+cos6x的最小正周期，并求x為何值時，y有最大值.

　　剖析：將原函數化成y=Asin(ωx+ )+B的形式，即可求解.

　　解：y=sin6x+cos6x=(sin2x+cos2x)(sin4x-sin2xcos2x+cos4x)=1-3sin2xcos2x=1- sin22x= cos4x+ .

　　∴T= .

　　當cos4x=1，即x= (k∈Z)時，ymax=1.

　　深化拓展

　　函數y=tan(ax+θ)(a>0)當x從n變化為n+1(n∈Z)時，y的值恰好由-∞變為+∞，則a=_______.

　　分析：你知道函數的周期T嗎?

　　答案：π

　　●闖關訓練

　　夯實基礎

　　1.若函數f(x)=sin(ωx+ )的圖象(部分)，則ω和 的取值是

　　A.ω=1， = B.ω=1， =-

　　C.ω= ， = D.ω= ， =-

　　解析：由圖象知，T=4( + )=4π= ，∴ω= .

　　又當x= 時，y=1，∴sin( × + )=1，

　　+ =2kπ+ ，k∈Z，當k=0時， = .

　　答案：C

　　2. f(x)=2cos2x+ sin2x+a(a為實常數)在區間[0， ]上的最小值為-4，那么a的值等于

　　A.4 B.-6 C.-4 D.-3

　　解析：f(x)=1+cos2x+ sin2x+a

　　=2sin(2x+ )+a+1.

　　∵x∈[0， ]，∴2x+ ∈[ ， ].

　　∴f(x)的最小值為2×(- )+a+1=-4.

　　∴a=-4.

　　答案：C

　　3.函數y= 的定義域是_________.

　　解析：-sin ≥0 sin ≤0 2kπ-π≤ ≤2kπ 6kπ-3π≤x≤6kπ(k∈Z).

　　答案：6kπ-3π≤x≤6kπ(k∈Z)

　　4.函數y=tanx-cotx的最小正周期為____________.

　　解析：y= - =-2cot2x，T= .

　　答案：

　　5.求函數f(x)= 的最小正周期、最大值和最小值.

　　解：f(x)=

　　= = (1+sinxcosx)

　　= sin2x+ ，

　　所以函數f(x)的最小正周期是π，最大值是 ，最小值是 .

　　6.已知x∈[ ， ]，函數y=cos2x-sinx+b+1的最大值為 ，試求其最小值.

　　解：∵y=-2(sinx+ )2+ +b，

　　又-1≤sinx≤ ，∴當sinx=- 時，

　　ymax= +b= b=-1;

　　當sinx= 時，ymin=- .

　　培養能力

　　7.求使 = sin( - )成立的θ的區間.

　　解： = sin( - )

　　= ( sin - cos ) |sin -cos |=sin -cos

　　sin ≥cos 2kπ+ ≤ ≤2kπ+ (k∈Z).

　　因此θ∈[4kπ+ ，4kπ+ ](k∈Z).

　　8.已知方程sinx+cosx=k在0≤x≤π上有兩解，求k的取值范圍.

　　解：原方程sinx+cosx=k sin(x+ )=k，在同一坐標系內作函數y1= sin(x+ )與y2=k的圖象.對于y= sin(x+ )，令x=0，得y=1.

　　∴當k∈[1， )時，觀察知兩曲線在[0，π]上有兩交點，方程有兩解.

　　評述：本題是通過函數圖象交點個數判斷方程實數解的個數，應重視這種方法.

　　探究創新

　　9.已知函數f(x)=

　　(1)畫出f(x)的圖象，并寫出其單調區間、最大值、最小值;

　　(2)判斷f(x)是否為周期函數.如果是，求出最小正周期.

　　解：(1)實線即為f(x)的圖象.

　　單調增區間為[2kπ+ ，2kπ+ ]，[2kπ+ ，2kπ+2π](k∈Z)，

　　單調減區間為[2kπ，2kπ+ ]，[2kπ+ ，2kπ+ ](k∈Z)，

　　f(x)max=1，f(x)min=- .

　　(2)f(x)為周期函數，T=2π.

　　●思悟小結

　　1.三角函數是函數的一個分支，它除了符合函數的所有關系和共性外，還有它自身的屬性.

　　2.求三角函數式的最小正周期時，要盡可能地化為只含一個三角函數，且三角函數的次數為1的形式，否則很容易出現錯誤.

　　●教師下載中心

　　教學點睛

　　1.知識精講由學生填寫，起到回顧作用.

　　2.例2、例4作為重點講解，例1、例3誘導即可.

　　拓展題例

　　【例1】 已知sinα>sinβ，那么下列命題成立的是

　　A.若α、β是第一象限角，則cosα>cosβ

　　B.若α、β是第二象限角，則tanα>tanβ

　　C.若α、β是第三象限角，則cosα>cosβ

　　D.若α、β是第四象限角，則tanα>tanβ

　　解析：借助三角函數線易得結論.

　　答案：D

　　【例2】 函數f(x)=-sin2x+sinx+a，若1≤f(x)≤ 對一切x∈R恒成立，求a的取值范圍.

　　解：f(x)=-sin2x+sinx+a

　　=-(sinx- )2+a+ .

　　由1≤f(x)≤

　　1≤-(sinx- )2+a+ ≤

　　a-4≤(sinx- )2≤a- . ①

　　由-1≤sinx≤1 - ≤sinx- ≤

　　(sinx- ) = ，(sinx- ) =0.

　　∴要使①式恒成立，

　　只需 3≤a≤4.