高一數學教案：《空間圖形的基本關系與公理》(3)
來源：網絡資源 2021-09-10 15:39:52
考點五 共線的判斷與證明：常見題型是三點共線。
例6. 如圖，O1是正方體ABCD-A1B1C1D1的面A1B1C1D1的中心，M是對角線A1C和截面B1D1A的交點，求證：O1、M、A三點共線。
證明：連結AC.因為A1C1∩B1D1＝O1，B1D1 平面B1D1A，A1C1 AA1C1C，所以O1∈平面B1D1A且O1∈AA1C1C。同理可知，M∈平面B1D1A且M∈AA1C1C；A∈平面B1D1A且A∈AA1C1C。所以，O1、M、A三點在平面B1D1A和AA1C1C的交線上，故O1、M、A三點共線。
說明：證明三線共點問題的常見思路是證明第三點在前兩點所確定的直線上；或者證明三點是兩相交平面的公共點，從而在這兩個平面的交線上。
考點六 共面問題的判斷與證明：此類題型常見的是四點共面或三線共面，如證明某個圖形是平面圖形。
例7. 如圖，在空間四邊形ABCD中，E、F分別是AB、AD的中點，G、H分別是BC、CD上的點，且CG＝BC/3，CH＝DC/3。求證：?E、F、G、H四點共面；?直線FH、EG、AC共點。
證明：?如圖，連結HG，EF。在△ABD中，E、F分別為AB、AD中點，故EF是△ABD的中位線，故EF∥BD。在△CBD中，CG＝BC/3，CH＝DC/3，故GH∥BD，故EF∥GH，從而GH、EF可確定一個平面，即G、H、E、F四點共面。
由于E、F、G、H四點共面，且FH與EG不平行，故相交，記交點為M，則M∈FH，FH 面ACD，故M∈面ACD；M∈EG，EG 面ABC，故M∈面ABC。從而M是面ACD和面ABC的公共點，由公理3可知，M在這兩個平面的交線AC上，從而FH、EG、AC三線共點。
說明：共面問題的常用的處理方法是利用平面的基本性質公理2及三個推論，先證明部分元素確定一個平面，再證剩下的元素也在此平面上；有時也可先證部分元素共面，剩下的元素共面，然后證明這兩個平面重合（此時也可用反證法）。
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