希爾伯特23個(gè)問(wèn)題及解決情況

　　1900年希爾伯特應(yīng)邀參加巴黎國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)并在會(huì)上作了題為《數(shù)學(xué)問(wèn)題》重要演講。在這具有歷史意義的演講中，首先他提出許多重要的思想：

　　正如人類(lèi)的每一項(xiàng)事業(yè)都追求著確定的目標(biāo)一樣，數(shù)學(xué)研究也需要自己的問(wèn)題。正是通過(guò)這些問(wèn)題的解決，研究者鍛煉其鋼鐵意志，發(fā)現(xiàn)新觀點(diǎn)，達(dá)到更為廣闊的自由的境界。

　　希爾伯特特別強(qiáng)調(diào)重大問(wèn)題在數(shù)學(xué)發(fā)展中的作用，他指出：“如果我們想對(duì)最近的將來(lái)數(shù)學(xué)知識(shí)可能的發(fā)展有一個(gè)概念，那就必須回顧一下當(dāng)今科學(xué)提出的，希望在將來(lái)能夠解決的問(wèn)題。”同時(shí)又指出：“某類(lèi)問(wèn)題對(duì)于一般數(shù)學(xué)進(jìn)程的深遠(yuǎn)意義以及它們?cè)谘芯空邆�(gè)人的工作中所起的重要作用是不可否認(rèn)的。只要一門(mén)科學(xué)分支能提出大量的問(wèn)題，它就充滿(mǎn)生命力，而問(wèn)題缺乏則預(yù)示著獨(dú)立發(fā)展的衰亡或中止。”

　　他闡述了重大問(wèn)題所具有的特點(diǎn)，好的問(wèn)題應(yīng)具有以下三個(gè)特征：

　　清晰性和易懂性；

　　雖困難但又給人以希望；

　　意義深遠(yuǎn)。

　　同時(shí)他分析了研究數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)常會(huì)遇到的困難及克服困難的一些方法。就是在這次會(huì)議上他提出了在新世紀(jì)里數(shù)學(xué)家應(yīng)努力去解決的23個(gè)問(wèn)題，即著名的“希爾伯特23個(gè)問(wèn)題”。

　　編號(hào)問(wèn)題推動(dòng)發(fā)展的領(lǐng)域解決的情況

　　1連續(xù)統(tǒng)假設(shè)公理化集合論1963年，PaulJ.Cohen在下述意義下證明了第一個(gè)問(wèn)題是不可解的。即連續(xù)統(tǒng)假設(shè)的真?zhèn)尾豢赡茉赯ermelo_Fraenkel公理系統(tǒng)內(nèi)判定。

　　2算術(shù)公理的相容性數(shù)學(xué)基礎(chǔ)希爾伯特證明算術(shù)公理的相容性的設(shè)想，后來(lái)發(fā)展為系統(tǒng)的Hilbert計(jì)劃（“元數(shù)學(xué)”或“證明論”）但1931年歌德?tīng)柕?ldquo;不完備定理”指出了用“元數(shù)學(xué)”證明算術(shù)公理的相容性之不可能。數(shù)學(xué)的相容性問(wèn)題至今未解決。

　　3兩等高等底的四面體體積之相等幾何基礎(chǔ)這問(wèn)題很快（1900）即由希爾伯特的學(xué)生M.Dehn給出了肯定的解答。

　　4直線(xiàn)作為兩點(diǎn)間最短距離問(wèn)題幾何基礎(chǔ)這一問(wèn)題提得過(guò)于一般。希爾伯特之后，許多數(shù)學(xué)家致力于構(gòu)造和探索各種特殊的度量幾何，在研究第四問(wèn)題上取得很大進(jìn)展，但問(wèn)題并未完全解決。

　　5不要定義群的函數(shù)的可微性假設(shè)的李群概念拓?fù)淙赫摻?jīng)過(guò)漫長(zhǎng)的努力，這個(gè)問(wèn)題于1952年由Gleason，Montqomery，Zipping等人最后解決，答案是肯定的。

　　6物理公理的數(shù)學(xué)處理數(shù)學(xué)物理在量子力學(xué)、熱力學(xué)等領(lǐng)域，公理化方法已獲得很大成功，但一般地說(shuō)，公理化的物理意味著什么，仍是需要探討的問(wèn)題。概率論的公理化已由A.H.Konmoropob等人建立。

　　7某些數(shù)的無(wú)理性與超越性超越數(shù)論1934年A.O.temohm和Schneieder各自獨(dú)立地解決了這問(wèn)題的后半部分。

　　8素?cái)?shù)問(wèn)題數(shù)論一般情況下的Riemann猜想至今仍是猜想。包括在第八問(wèn)題中的Goldbach問(wèn)題至今也未解決。中國(guó)數(shù)學(xué)家在這方面做了一系列出色的工作。

　　9任意數(shù)域中最一般的互反律之證明類(lèi)域論已由高木貞治（1921）和E.Artin（1927）解決。

　　10Diophantius方程可解性的判別不定分析1970年由蘇、美數(shù)學(xué)家證明Hilbert所期望的一般算法是不存在的。

　　11系數(shù)為任意代數(shù)數(shù)的二次型二次型理論H.Hasse（1929）和C.L.Siegel（1936，1951）在這問(wèn)題上獲得了重要的結(jié)果。

　　12Abel域上kroneker定理推廣到任意代數(shù)有理域。復(fù)乘法理論尚未解決。

　　13不可能用只有兩個(gè)變數(shù)的函數(shù)解一般的七次方程。方程論與實(shí)函數(shù)論連續(xù)函數(shù)情形于1957年由蘇數(shù)學(xué)家否定解決，如要求是解析函數(shù)，則問(wèn)題仍未解決。

　　14證明某類(lèi)完全函數(shù)系的有限性代數(shù)不變式理論1958年永田雅宜給出了否定解決。

　　15Schubert記數(shù)演算的嚴(yán)格基礎(chǔ)代數(shù)幾何學(xué)由于許多數(shù)學(xué)家的努力，Schubert演算的基礎(chǔ)的純代數(shù)處理已有可能，但Schubert演算的合理性仍待解決。至于代數(shù)幾何的基礎(chǔ)，已由B.L.VanderWaerden（1938-40）與A.Weil（1950）建立。

　　16代數(shù)曲線(xiàn)與曲面的拓?fù)淝�線(xiàn)與曲面的拓?fù)鋵W(xué)、常微分方程的定性理論問(wèn)題的前半部分，近年來(lái)不斷有重要結(jié)果。

　　17正定形式的平方表示式域（實(shí)域）論已由Artin于1926年解決。

　　18由全等多面體構(gòu)造空間結(jié)晶體群理論部分解決。

　　19正則變分問(wèn)題的解是否一定解析橢圓型偏微分方程理論這個(gè)問(wèn)題在某種意義上已獲解決。

　　20一般邊值問(wèn)題橢圓型偏微分方程理論偏微分方程邊值問(wèn)題的研究正在蓬勃發(fā)展。

　　21具有給定單值群的線(xiàn)性偏微分方程的存在性線(xiàn)性常微分方程大范圍理論已由Hilbert本人（1905）年和H.Rohrl（德，1957）解決。

　　22解析關(guān)系的單值化Riemann曲面體一個(gè)變數(shù)的情形已由P.Koebe（德，1907）解決。

　　23變分法的進(jìn)一步發(fā)展變分法Hilbert本人和許多數(shù)學(xué)家對(duì)變分法的發(fā)展作出了重要的貢獻(xiàn)。