希爾伯特23個問題及解決情況

　　1900年希爾伯特應(yīng)邀參加巴黎國際數(shù)學(xué)家大會并在會上作了題為《數(shù)學(xué)問題》重要演講。在這具有歷史意義的演講中，首先他提出許多重要的思想：

　　正如人類的每一項事業(yè)都追求著確定的目標(biāo)一樣，數(shù)學(xué)研究也需要自己的問題。正是通過這些問題的解決，研究者鍛煉其鋼鐵意志，發(fā)現(xiàn)新觀點，達到更為廣闊的自由的境界。

　　希爾伯特特別強調(diào)重大問題在數(shù)學(xué)發(fā)展中的作用，他指出：“如果我們想對最近的將來數(shù)學(xué)知識可能的發(fā)展有一個概念，那就必須回顧一下當(dāng)今科學(xué)提出的，希望在將來能夠解決的問題。”同時又指出：“某類問題對于一般數(shù)學(xué)進程的深遠意義以及它們在研究者個人的工作中所起的重要作用是不可否認(rèn)的。只要一門科學(xué)分支能提出大量的問題，它就充滿生命力，而問題缺乏則預(yù)示著獨立發(fā)展的衰亡或中止。”

　　他闡述了重大問題所具有的特點，好的問題應(yīng)具有以下三個特征：

　　清晰性和易懂性；

　　雖困難但又給人以希望；

　　意義深遠。

　　同時他分析了研究數(shù)學(xué)問題時常會遇到的困難及克服困難的一些方法。就是在這次會議上他提出了在新世紀(jì)里數(shù)學(xué)家應(yīng)努力去解決的23個問題，即著名的“希爾伯特23個問題”。

　　編號問題推動發(fā)展的領(lǐng)域解決的情況

　　1連續(xù)統(tǒng)假設(shè)公理化集合論1963年，PaulJ.Cohen在下述意義下證明了第一個問題是不可解的。即連續(xù)統(tǒng)假設(shè)的真?zhèn)尾豢赡茉赯ermelo_Fraenkel公理系統(tǒng)內(nèi)判定。

　　2算術(shù)公理的相容性數(shù)學(xué)基礎(chǔ)希爾伯特證明算術(shù)公理的相容性的設(shè)想，后來發(fā)展為系統(tǒng)的Hilbert計劃（“元數(shù)學(xué)”或“證明論”）但1931年歌德爾的“不完備定理”指出了用“元數(shù)學(xué)”證明算術(shù)公理的相容性之不可能。數(shù)學(xué)的相容性問題至今未解決。

　　3兩等高等底的四面體體積之相等幾何基礎(chǔ)這問題很快（1900）即由希爾伯特的學(xué)生M.Dehn給出了肯定的解答。

　　4直線作為兩點間最短距離問題幾何基礎(chǔ)這一問題提得過于一般。希爾伯特之后，許多數(shù)學(xué)家致力于構(gòu)造和探索各種特殊的度量幾何，在研究第四問題上取得很大進展，但問題并未完全解決。

　　5不要定義群的函數(shù)的可微性假設(shè)的李群概念拓?fù)淙赫摻?jīng)過漫長的努力，這個問題于1952年由Gleason，Montqomery，Zipping等人最后解決，答案是肯定的。

　　6物理公理的數(shù)學(xué)處理數(shù)學(xué)物理在量子力學(xué)、熱力學(xué)等領(lǐng)域，公理化方法已獲得很大成功，但一般地說，公理化的物理意味著什么，仍是需要探討的問題。概率論的公理化已由A.H.Konmoropob等人建立。

　　7某些數(shù)的無理性與超越性超越數(shù)論1934年A.O.temohm和Schneieder各自獨立地解決了這問題的后半部分。

　　8素數(shù)問題數(shù)論一般情況下的Riemann猜想至今仍是猜想。包括在第八問題中的Goldbach問題至今也未解決。中國數(shù)學(xué)家在這方面做了一系列出色的工作。

　　9任意數(shù)域中最一般的互反律之證明類域論已由高木貞治（1921）和E.Artin（1927）解決。

　　10Diophantius方程可解性的判別不定分析1970年由蘇、美數(shù)學(xué)家證明Hilbert所期望的一般算法是不存在的。

　　11系數(shù)為任意代數(shù)數(shù)的二次型二次型理論H.Hasse（1929）和C.L.Siegel（1936，1951）在這問題上獲得了重要的結(jié)果。

　　12Abel域上kroneker定理推廣到任意代數(shù)有理域。復(fù)乘法理論尚未解決。

　　13不可能用只有兩個變數(shù)的函數(shù)解一般的七次方程。方程論與實函數(shù)論連續(xù)函數(shù)情形于1957年由蘇數(shù)學(xué)家否定解決，如要求是解析函數(shù)，則問題仍未解決。

　　14證明某類完全函數(shù)系的有限性代數(shù)不變式理論1958年永田雅宜給出了否定解決。

　　15Schubert記數(shù)演算的嚴(yán)格基礎(chǔ)代數(shù)幾何學(xué)由于許多數(shù)學(xué)家的努力，Schubert演算的基礎(chǔ)的純代數(shù)處理已有可能，但Schubert演算的合理性仍待解決。至于代數(shù)幾何的基礎(chǔ)，已由B.L.VanderWaerden（1938-40）與A.Weil（1950）建立。

　　16代數(shù)曲線與曲面的拓?fù)淝�線與曲面的拓?fù)鋵W(xué)、常微分方程的定性理論問題的前半部分，近年來不斷有重要結(jié)果。

　　17正定形式的平方表示式域（實域）論已由Artin于1926年解決。

　　18由全等多面體構(gòu)造空間結(jié)晶體群理論部分解決。

　　19正則變分問題的解是否一定解析橢圓型偏微分方程理論這個問題在某種意義上已獲解決。

　　20一般邊值問題橢圓型偏微分方程理論偏微分方程邊值問題的研究正在蓬勃發(fā)展。

　　21具有給定單值群的線性偏微分方程的存在性線性常微分方程大范圍理論已由Hilbert本人（1905）年和H.Rohrl（德，1957）解決。

　　22解析關(guān)系的單值化Riemann曲面體一個變數(shù)的情形已由P.Koebe（德，1907）解決。

　　23變分法的進一步發(fā)展變分法Hilbert本人和許多數(shù)學(xué)家對變分法的發(fā)展作出了重要的貢獻。