高二數學橢圓與相交直線的弦長公式
來源：網絡資源 2009-10-10 16:34:24
解：如果需要,推一個便是.設橢圓和直線的方程分別為
X^2/a^2+Y^2/b^2=1和X/A+Y/B=0
即b^2?X^2+a^2?Y^2=a^2?b^2┅┅┅①
和BX+AY=0┅┅┅②
由②得Y=-BX/A
代入①且整理可得[(Ab)^2+(Ab)^2]?X^2=(ab)^2
∴X=±ab/√[(Ab)^2+(aB)^2]
從而Y=-{±abB/A√[(Ab)^2+(aB)^2]
記弦為PQ,則P(ab/√[(Ab)^2+(aB)^2],-abB/{A√[(Ab)^2+(aB)^2]})
Q(-ab/√[(Ab)^2+(aB)^2],abB/{A√[(Ab)^2+(aB)^2]})
于是|PQ|^2=(2ab)^2/[(Ab)^2+(aB)^2]+(2abB)^2/abB/{A^2[(Ab)^2+(aB)^2]}
∴弦長|PQ|=(2ab/A)√{[A^2+B^2]/[(Ab)^2+(aB)^2]}
注意:這是對于以原點為中心,長軸在橫軸上的橢圓被直線截得的弦長公式,其中a,b分別為橢圓的半長軸和半短軸,A,B分別為直線在X軸上和Y軸上的截距.(其它情況,自行同樣推導)
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