高二數學必修：單元知識總結 三、曲線和方程
來源：網絡資源 2009-10-10 22:40:57
三、曲線和方程
1．定義
在選定的直角坐標系下，如果某曲線C上的點與一個二元方程f(x，y)=0的實數解建立了如下關系：
(1)曲線C上的點的坐標都是方程f(x，y)=0的解(一點不雜)；
(2)以方程f(x，y)=0的解為坐標的點都是曲線C上的點(一點不漏)．
這時稱方程f(x，y)=0為曲線C的方程；曲線C為方程f(x，y)=0的曲線(圖形)．
設P={具有某種性質(或適合某種條件)的點}，Q={(x，y)|f(x，y)=0}，若設點M的坐標為(x0，y0)，則用集合的觀點，上述定義中的兩條可以表述為：
以上兩條還可以轉化為它們的等價命題(逆否命題)：
為曲線C的方程；曲線C為方程f(x，y)=0的曲線(圖形)．
2．曲線方程的兩個基本問題
(1)由曲線(圖形)求方程的步驟：
①建系，設點：建立適當的坐標系，用變數對(x，y)表示曲線上任意一點M的坐標；
②立式：寫出適合條件p的點M的集合p={M|p(M)}；
③代換：用坐標表示條件p(M)，列出方程f(x，y)=0；
④化簡：化方程f(x，y)=0為最簡形式；
⑤證明：以方程的解為坐標的點都是曲線上的點．
上述方法簡稱“五步法”，在步驟④中若化簡過程是同解變形過程；或最簡方程的解集與原始方程的解集相同，則步驟⑤可省略不寫，因為此時所求得的最簡方程就是所求曲線的方程．
(2)由方程畫曲線(圖形)的步驟：
①討論曲線的對稱性(關于x軸、y軸和原點)；
②求截距：
③討論曲線的范圍；
④列表、描點、畫線．
3．交點
求兩曲線的交點，就是解這兩條曲線方程組成的方程組．
4．曲線系方程
過兩曲線f1(x，y)=0和f2(x，y)=0的交點的曲線系方程是f1(x，y)＋λf2(x，y)=0(λ∈R)．
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