數學邏輯用語匯編：簡單邏輯詞與量詞(2)

　　12.解：命題p為真?a（1-a）＞0?0＜a＜1-------------------------------（2分）

　　命題q為真 ，-----------------（4分）

　　命題"p∨q"為真，"p∧q"為假?p，q中一真一假，-----------------（6分）

　　當p真q假時， ，得 ，---------------------------（8分）

　　當p假q真時， ，得 ，--------------------（10分）

　　所以a的取值范圍是 -----------------------------------------（12分）

　　13.解：命題p為真時：a≤-1；

　　命題q為真時：a2-16＜0即-4＜a＜4，

　　因為命題"p∧q"為假，"p∨q"為真，所以 或 ，

　　即 ，或 ，解得a≤-4或-1＜a＜4．

　　所以實數a的取值范圍為（-∞，-4]∪（-1，4）．

　　14.解：（1）對任意x∈[0，1]，不等式2x-2≥m2-3m恒成立，∴-2≥m2-3m，解得1≤m≤2．

　　（2）a=1時，存在x∈[-1，1]，使得m≤ax 成立．∴m≤1．

　　∵p且q為假，p或q為真，

　　∴p與q必然一真一假，

　　∴ 或 ，

　　解得1＜m≤2或m＜1．

　　∴m的取值范圍是（-∞，1）∪（1，2]．

　　15.解：（1）對于p：A=[-1，5]，對于q：B=[1-m，1+m]，p是q的充分條件，

　　可得A?B，∴ ，∴m∈[4，+∞）．

　　（2）m=5，如果p真：A=[-1，5]，如果q真：B=[-4，6]，p∨q為真命題，p∧q為假命題，

　　可得p，q一陣一假，

　　①若p真q假，則 無解；

　　②若p假q真，則 ∴x∈[-4，-1）∪（5，6]．

　　16.解：∵p∧q為假，p∨q為真

　　∴p，q一真一假

　　p真：1＜x＜3

　　q真：

　　p假：x≤1或x≥3

　　q假：x≤2或x＞3

　　當p真q假時：

　　當p假q真時：

　　綜上所述：x∈{x|1＜x≤2或x=3}

　　17. 解：（1）因為命題p：?x∈[-2，-1]，x2-a≥0．

　　令f（x）=x2-a，

　　根據題意，只要x∈[-2，-1]時，f（x）min≥0即可，

　　也就是1-a≥0，即a≤1；

　　（2）由（1）可知，當命題p為真命題時，a≤1，

　　命題q為真命題時，△=4a2-4（2-a）≥0，解得a≤-2或a≥1

　　因為命題"p∨q"為真命題，命題"p∧q"為假命題，所以命題p與q一真一假，

　　當命題p為真，命題q為假時，-2＜a＜1，

　　當命題p為假，命題q為真時，a＞1．

　　綜上：a＞1或-2＜a＜1．

　　18.解：當p正確時，∵函數y=-（2c-1）x在R上為增函數∴0＜2c-1＜1，

　　∴當p為正確時，

　　當q正確時，

　　∵不等式x+（x-2c）2＞1的解集為R，

　　∴當x∈R時，x2-（4c-1）x+（4c2-1）＞0恒成立．

　　∴△=（4c-1）2-4o（4c2-1）＜0，∴-8c+5＜0

　　∴當q為正確時，

　　由題設，若p和q有且只有一個正確，則

　　（1）p正確q不正確，

　　∴ ------（9分）

　　（2）q正確p不正確， ∴c≥1

　　∴綜上所述，若p和q有且僅有一個正確，c的取值范圍是 --（14分）

　　19.解：因為命題p是真命題，則x2-2x-2≥1，

　　∴x≥3或x≤-1，

　　命題q是假命題，則x≤0或x≥4．

　　∴x≥4或x≤-1．

　　20.解：∵sinx+cosx= sin（x+ ）≥- ，

　　∴當r（x）是真命題時，m＜- ．

　　又∵對?x∈R，s（x）為真命題，即x2+mx+1＞0恒成立，有△=m2-4＜0，∴-2＜m＜2．

　　∴當r（x）為真，s（x）為假時，m＜- ，

　　同時m≤-2或m≥2，即m≤-2，

　　當r（x）為假，s（x）為真時，m≥- 且-2＜m＜2，

　　即- ≤m＜2．

　　綜上所述，m的取值范圍是m≤-2或- ≤m＜2．

　　21.解：（1）若命題p為真，則有

　　解之得0＜a＜1，即實數a的取值范圍為（0，1）；

　　（2）若命題q為真，則有

　　△=（2a-3）2-4＞0，解之得a 或a

　　∵命題"p∨q"為真，"p∧q"為假

　　∴p、q中一個為真命題，另一個為假命題，

　　①當p真q假時， ，得 ≤a＜1；

　　②當p假q真時， ，得a≤0或a

　　所以a的取值范圍是（-∞，0]∪[ ，1）∪[ ，+∞）．

　　22.解：（1）令x=0，y=0，則f（0+0）=f（0）+f（0）-3，

　　∴f（0）=3；

　　（2）f（x）是R上的減函數，證明如下：

　　設x1＞x2，f（x1）-f（x2）=f（x1-x2+x2）-f（x2）=f（x1-x2）+f（x2）-3-f（x2）=f（x1-x2）-3，

　　∵x1-x2＞0，

　　∴f（x1-x2）＜3，

　　∴f（x1）＜f（x2），即f（x）是R上的減函數；

　　（3）由（2）知f（x）是R上的減函數，

　　∴（t-2）|x-4|＜t2-4t+13對t∈（2，4）恒成立，

　　∴ 對t∈（2，4）恒成立，

　　∴|x-4|＜

　　∴

　　設 ，當t∈（2，4）時

　　于是 ，解得： ．

　　23.解：（1）∵p：{x|-2≤x≤10}，

　　q：{x|1-m≤x≤1+m，m＞0}．

　　∵q是p的必要不充分條件，

　　∴p是q的必要不充分條件，

　　∴ ，

　　（兩個等號不同時成立）

　　解之得：m≤3，即實數m的取值范圍是[3，+∞）；

　　（2）由關于x的不等式x2+2ax+4＞0對一切x∈R恒成立，

　　可得△=4a2-16＜0，

　　∴P：-2＜a＜2，

　　由函數f（x）=（3-2a）x是增函數可得3-2a＞1，

　　則a＜1

　　q：a＜1．

　　若命題"p且q"為假命題，"p或q"為真命題，則p，q中一個為真，一個為假

　　①若p真q假，則 ，解得：1≤a＜2，

　　②若P假q真，則 ，?a≤-2，

　　故答案為：（-∞，-2]∪[1，2）．

　　24.解：∵方程 表示焦點在y軸上的橢圓，

　　∴0＜m+1＜3-m，

　　解得：-1＜m＜1，

　　∴若命題p為真命題，求實數m的取值范圍是（-1，1）；

　　若關于x的方程x2+2mx+2m+3=0無實根，則判別式△=4m2-4（2m+3）＜0，

　　即m2-2m-3＜0，得-1＜m＜3．

　　若"p∧q"為假命題，"p∨q"為真命題，則p，q為一個真命題，一個假命題，

　　若p真q假，則 ，此時無解，

　　柔p假q真，則 ，得1≤m＜3．

　　綜上，實數m的取值范圍是[1，3）．

　　25.解：（1）命題p：（x+2）（x-10）≤0，

　　∴-2≤x≤10，

　　命題q：1-m≤x≤1+m，m＞0

　　∴1-m≤x≤1+m，

　　∵q是p的充分不必要條件，

　　p：x∈[-2，10]，q：x∈[1-m，1+m]

　　∴[1-m，1+m]?[-2，10]，

　　∴ ，解得： ，

　　當1-m=-2時，m=3，

　　[-2，4]?[-2，10]，

　　∴m=3成立，

　　∴實數m的取值范圍是[3，+∞）；

　　（2）若命題p：|a|＜2，

　　則-2＜a＜2，

　　命題q：一次函數f（x）=（2-2a）x+1是增函數，

　　則2-2a＞0，解得：a＜1，

　　若p∨q為真，p∧q為假，

　　則p，q一真一假，

　　p真q假時： ，解得：1≤a＜2，

　　p假q真時： ，解得：a≤-2，

　　綜上：a∈（-∞，-2]∪[1，2）．

　　26.解：∵ 的解集為[-2，10]，

　　故命題p成立有x∈[-2，10]，

　　由x2-2x-m2+1≤0，

　　1°m≥0時，得x∈[1-m，m+1]，

　　2°m＜0時，得x∈[1+m，1-m]，

　　故命題q成立有m≥0時，得x∈[1-m，m+1]，m＜0時，得x∈[1+m，1-m]，

　　若p是q的必要不充分條件，即p是q的充分不必要條件，

　　因此有[-2，10]?[1-m，m+1]，或[-2，10]?[1+m，1-m]，

　　解得m≤-9或m≥9．

　　故實數m的范圍是m≤-9或m≥9．

　　27.解：由 ，得-2＜x≤10．

　　"￢p"：A={x|x＞10或x≤-2}．

　　由x2-2x+1-m2≤0，

　　得1-m≤x≤1+m（m＞0）．

　　∴"￢q"：B={x|x＞1+m或x＜1-m，m＞0}．

　　∵￢p是￢q的充分而不必要條件，∴A?B．

　　∴ 解得0＜m＜3