2019年高考數學總復習專練：函數的周期性

　　高考數學總復習:周期性

　　周期性

　　常用周期公式：

　　f(x+a)=f(x):T=a；         f(x+a)=-f(x):T=2a;       f(x+a)=f(x+b):T= ；

　　f(x+a)= :T=2a；       f(x+a)=- :T=2a;

　　考點一、周期性證明

　　1.（1）已知函數f(x)對任意實數x,都有f(x＋m)＝f(x-m),求證:2m是f(x)的一個周期

　　證明：f(x＋2m)＝f[(x＋m)＋m]＝f[(x＋m)-m]＝f(x)，則f(x)是以2m為周期的周期函數.

　　（2） 已知函數f(x)對任意實數x,都有f(x＋m)＝－f(x),求證:2m是f(x)的一個周期.

　　證明：f(x＋2m)＝f[(x＋m)＋m] ＝－f(x＋m) ＝f(x)，則f(x)是以2m為周期的周期函數.

　　（3）f(x)+f(x+5)=16,求周期。

　　解：用x+5替換上面的x，則f（x+5）+f（x+10）=16兩式相減的f（x）=f（x+10）

　　所以周期為10。

　　考點二。周期性應用

　　2.（1)已知f(x)為奇函數， ，且f(x+2)=f(x)+f(2),求f(5).

　　解：f(-1+2)=f(-1)+f(2)，則f(2)=1,

　　f(5)=f(3+2)=f(3)+f(2)=f(1+2)+f(2)=f(1)+2f(2)=f(-1)+3f(2)=-f(1)+3f(2)= .

　　（2）已知 是周期為4的偶函數，當 時， ，求 ， 。

　　解： ，

　　，  。

　　（3）設偶函數 對任意 ，都有f(x+3)=- ，且當 時， ,則 的值為(    )    A.            B.         C.          D.

　　解：

　　（4）已知f(x)f(x+2)=13,若f(1)=2,求f(99).

　　解： ，則周期為4，f(99)=f(3)=f(-1)= = .

　　（5）已知定義在 上的奇函數 ，滿足 ,且在區間 上是增函數，則(    )

　　A.             B.

　　C.              D.

　　解：∵ ，∴ ，∴ ，

　　∴ 的周期為  ，∴ ， ， ，又∵奇函數 在區間 上是增函數，∴ 在區間 上是增函數，∴ ，故選D.

　　3.（1）已知定義在 上的函數  滿足  ，且 ， ，則 … （    ）   A． 　   B．     C．   D． 解:函數 的周期是 ，∴  ，

　　∴ …

　　．

　　（2）已知函數f(x)的定義域為R.當x<0時， ；當 時， ；當 時，  ，則f(6)= （   ）

　　A.?2             B.?1          C.0            D.2

　　解：由題知，周期為1，.則f(6)=f(1)=-f(-1)=2.

　　（3）若f(1)= ,  4f(x)f(y)=f(x+y)+f(x－y),   求f(2015)的值。

　　解：取x=1,y=0代入解得f(0)=1/2則當x=1,y=1時,解得f(2)=f(1)-f(0)=-1/4；當x=2,y=1時,解得f(3)=f(2)-f(1)=-1/2；當x=3,y=1時,解得f(4)=f(3)-f(2)=-1/4；當x=4,y=1時,解得f(5)=f(4)-f(3)=1/4；當x=5,y=1時,解得f(6)=f(5)-f(4)=1/2；當x=6,y=1時,解得f(7)=f(6)-f(5)=1/4；6個一循環2015÷6=370余5 ， f(2015)=f(5)=1/4。

　　（4）已知函數f（x-1）為奇函數，函數f（x+3）為偶函數，f（0）=1，求f（56）。

　　解：∵函數f（x+3）為偶函數， ∴f（x+3）=f（-x+3），∴f（8）=f（5+3）=f（-5+3）=f（-2）；又函數f（x-1）為奇函數，f（0）=1，∴f（-2）=f（-1-1）=-f（1-1）=-f（0）=-1，    ∴f（8）=-1．周期為16，則f(56)=-1。

　　考點三。對稱軸

　　注意：f(x＋m)＝f(x-m)與f(m ＋x)＝f(m-x)的區別，

　　f(m+x)=f(n-x) 是f(x)圖像的對稱軸;

　　f(x)+f(2a-x)=2b 關于（a,b）對稱；

　　4.已知f(1+x)=f(-x)，且當 時， ，求f(x)在 上的最大值與最小值之和。

　　解：對稱軸 ，由圖像知：f(x)在 上單調遞減，

　　則f(x)max+f(x)min=f(-2)+f(0)=f(3)+f(1)= =4.