反比例函數圖像和性質知識點

　　反比例函數的圖像屬于以原點為對稱中心的中心對稱的兩條曲線,反比例函數圖象中每一象限的每一條曲線會無限接近X軸Y軸但不會與坐標軸相交（y≠0）。

　　1反比例函數公式口訣

　　反比例函數雙曲線，待定只需一個點，正k落在一三限，x增大y在減，圖象上面任意點，矩形面積都不變，對稱軸是角分線，x、y的順序可交換。

　　2反比例函數圖象

　　當k>0時，兩支曲線分別位于第一、三象限內；當k<0時，兩支曲線分別位于第二、四象限內，兩個分支無限接近x和y軸，但永遠不會與x軸和y軸相交.

　　圖象畫法

　　1）列表

　　x...-3 -2 -1 1 2 3 4 ...

　　y...-4 -6 -12 12 6 4 3 ...

　　2）在平面直角坐標系中標出點（一般標5個點，稱為5點作圖法）。

　　3）用平滑的曲線連接點。

　　當K>0時，在圖象所在的每一象限內，Y隨X的增大而減小。

　　當K<0時，在圖象所在的每一象限內，Y隨X的增大而增大。

　　當兩個數相等時那么曲線呈彎月型。

　　k的意義及應用

　　過反比例函數y=k/x（k≠0）圖象上任意一點P（x,y），作兩坐標軸的垂線，兩垂足、原點、P點組成一個矩形，矩形的面積為|k|。過反比例函數圖象一點，作任一坐標軸的垂線，并連接原點，圍成的三角形的面積為|k|/2。

　　研究函數問題要透視函數的本質特征。反比例函數中，比例系數k有一個很重要的幾何意義，那就是：過反比例函數圖象上任一點P作x軸、y軸的垂線PM、PN，垂足為M、N則矩形PMON的面積為|k|。

　　所以，對雙曲線上任意一點作x軸、y軸的垂線，它們與x軸、y軸所圍成的矩形面積為常數。這個常數是k的絕對值。在解有關反比例函數的問題時，若能靈活運用反比例函數中k的幾何意義，會給解題帶來很多方便。

　　3反比例函數性質

　　單調性

　　當k>0時，圖象分別位于第一、三象限，每一個象限內，從左往右，y隨x的增大而減小；

　　當k<0時，圖象分別位于第二、四象限，每一個象限內，從左往右，y隨x的增大而增大。

　　k>0時，函數在x<0上為減函數、在x>0上同為減函數；k<0時，函數在x<0上為增函數、在x>0上同為增函數。

　　相交性

　　因為在y=k/x(k≠0)中，x不能為0，y也不能為0，所以反比例函數的圖象不可能與x軸相交，也不可能與y軸相交，只能無限接近x軸，y軸。

　　面積

　　在一個反比例函數圖像上任取兩點，過點分別作x軸，y軸的平行線，與坐標軸圍成的矩形面積為|k|，

　　反比例函數上一點 向x 、y 軸分別作垂線，分別交于y軸和x軸，則QOWM的面積為|k|，則連接該矩形的對角線即連接OM,則RT△OMQ的面積=?|k|。

　　圖像表達

　　反比例函數圖象不與x軸和y軸相交的漸近線為：x軸與y軸。

　　k值相等的反比例函數圖象重合，k值不相等的反比例函數圖象永不相交。

　　|k|越大，反比例函數的圖象離坐標軸的距離越遠。

　　對稱性

　　反比例函數圖象是中心對稱圖形，對稱中心是原點；反比例函數的圖象也是軸對稱圖形，其對稱軸為y=x或y=-x；反比例函數圖象上的點關于坐標原點對稱。

　　圖象關于原點對稱。若設正比例函數y=mx與反比例函數 交于A、B兩點（m、n同號），那么A B兩點關于原點對稱。

　　反比例函數關于正比例函數y=±x軸對稱,并且關于原點中心對稱。

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