2025年高考數學線性規劃知識要點
來源：網絡整理 2024-11-13 11:24:47
簡單的線性規劃問題是高考的熱點之一，是歷年高考的必考內容，主要以填空題的形式考查最優解的最值類問題的求解，高考的命題主要圍繞線性規劃知識要點有以下幾個方面：
(1) 常規的線性規劃問題，即求在線性約束條件下的最值問題;
(2) 與函數、平面向量等知識結合的最值類問題;
(3) 求在非線性約束條件下的最值問題;
(4) 考查線性規劃問題在解決實際生活、生產實際中的應用.而其中的第(2)(3)(4)點往往是命題的創新點。
【例1】 設函數f(θ)=?3?sin?θ+??cos?θ，其中，角θ的頂點與坐標原點重合，始邊與x軸非負半軸重合，終邊經過點?P(x,y)?，且0≤θ≤?π?。
(1) 若點P的坐標為12,32，求f(θ)的值;
(2) 若點P(x,y)為平面區域Ω：x+y≥1,x≤1,y≤1。 上的一個動點，試確定角θ的取值范圍，并求函數f(θ)的最小值和最大值。
分析 第(1)問只需要運用三角函數的定義即可;第(2)問中只要先畫出平面區域Ω，再根據抽畫出的平面區域確定角θ的取值范圍，進而轉化為求f(θ)=a?sin?θ+b?cos?θ型函數的最值。
解 (1) 由點P的坐標和三角函數的定義可得?sin?θ=32，?cos?θ=12。
于是f(θ)=3?sin?θ+??cos?θ=?3×32+12=2。
(2) 作出平面區域Ω (即三角形區域ABC)如圖所示，其中A(1,0)，B(1,1)，?C(0,1)?.于是0≤θ≤?π?2,
又f(θ)=3?sin?θ+?cos?θ=2?sin?θ+?π?6，
且?π?6≤θ+??π?6≤?2?π?3，
故當θ+?π?6=?π?2，即θ=?π?3時，f(θ)取得最大值，且最大值等于2;
當θ+?π?6=?π?6，即θ=0時，f(θ)取得最小值，且最小值等于1。
點評 本題中的最大的亮點在于以解答題的形式將線性規劃中的基礎內容平面區域與三角函數的求值進行了的有機綜合，過去歷年高考對線性規劃考查中并不多見。
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