關于“四色問題”的證明

　　“四色問題”是世界數學史上一個非常著名的證明難題，它要求證明在平面地圖上只要用四種顏色就能使任何復雜形狀的各塊相鄰區域之間顏色不會重復，也就是說相互之間都有交界的區域最多只能有四塊。一百五十多年來有許多數學家用了很長時間，化了很多精力才能證明這個問題。前些日子報刊上曾有報道說：有好幾位大學生用好幾臺電子計算機聯合起來化了十幾個小時才證明了這個問題。本人在二十多年前就知道有這么一個“四色問題”，可一直找不到證明它的方法。現在我剛接觸到“拓撲學”，其實用“拓撲學”原理一分析，“四色問題”就象當年歐拉把“七橋問題”看成是經過四個點不重復的七條線段的“一筆畫”一樣簡單，連一般的小學生都能證明它。

　　根據“拓撲學”原理，任何復雜形狀的每一塊區域都可看成是一個點，兩塊區域之間相互有交界的可看成這兩點之間有連線，只要證明在一個平面內，相互之間都有連線的點不會超過四個，也就證明了“四色問題”。

　　平面內的任意一個點A可與許許多多的點B、C、D……X、Y、Z有連線（如圖1所示），同樣B點也可與其它點有連線，C、D……X、Y、Z各點也可與其它點有連線。但有一個原則：各連線之間不能相互交叉，因為一旦交叉就會產生一條連線隔斷另一條連線（如圖2所示），BC的連線就隔斷了AD的連線。但有人會說：兩點間的連線可有許多條，AD連線可繞到B點或C點以外（圖2中虛線所示）不就沒有交叉了嗎？可是這樣一繞就產生一個結果：原來在一個封閉圖形外的點變成了封閉圖形內的點。下面就通過對封閉圖形的分析來證明相互之間都有連線的點不超過四個。

　　一個點本身或兩個點之間的連線都可形成一個或多個封閉圖形（如圖3所示）。三個相互之間都有連線的點從A點連到B點再到C點又回到A點（如圖4所示），必定會造成圖形的封閉。封閉圖形上的點若多于四點（如圖5所示），從第三點C起各點與第一點A的連線又將整個封閉圖形分割成許多小的封閉圖形。因此得出結論①：同一平面上任何三個相互之間都有連線的點，它們之間的連線必定會形成至少一個封閉圖形。我們況且叫作三點連線封閉定律。

　　平面上任何第四點可以是在上述三點連線構成的封閉圖形內，也可以在封閉圖形外（如圖6中D點和D′點），D點可分別與A、B、C點有連線，D′點也可分別與A、B、C點有連線。D點與A、B、C點的連線把封閉圖形ABC分割成三個小的封閉圖形，D′點與A、B、C點的三條連線中一定有一條被夾在另兩條中間，圖6中D′A線被D′B線與

　　D′C線夾在中間，A點被封閉圖形BCD′所包圍，與D點在封閉圖形ABC中情況相同。因此得出結論②：同一平面上任何四個相互之間都有連線的點中，必定有一個點被另三個點連線所形成的封閉圖形所包圍。我們況且叫作四點連線包圍定律。

　　那么平面上有沒有第五點能分鷯肷鮮鏊牡愣加辛?吣兀渴紫日獾諼宓鉋若要與第四點D有連線就必須也在封閉圖形ABC里面，其次這第五點不能落在各條連線上，否則會隔斷這條連線。第五點只能落在E1、E2、E3位置（如圖7所示），而這三個位置上的點分別只能與包圍它的小封閉圖形上的三個點有連線，而不能與第四點有連線，若要有連線必定會隔斷其它連線。因此得出結論③：同一平面上任何相互之間都有連線的點最多只能有四個，若第五點要與這四點有連線，必定會使其中兩點的連線中斷。我們況且叫作五點連線必斷定律。這就是要求證明的“四色問題”。

　　以上是在同一平面上證明了“四色問題”。如果各區域圖是分布在立體形的表面（比如地球儀），我們根據拓撲學基本原理可以把這個立體形看成扁平形的，把圖6中的D點看成在平面前，把D'點看成在平面后，這兩點若要有連線除非從平面中穿孔而過或者從立體形表面外的空間跨過去，否則這兩點被封閉圖形ABC所隔開是不可能有連線的。這個立體形可以是只要中間不穿孔的任何形狀，因為不管你表面如何棱棱角角、凹凸不平，從拓撲學來看都與球形是一樣性質的，這好比一個氣球在充氣前可以是任何形狀，充氣后總是接近球形。但立體形中間有穿孔的情況就不同了，它最后不會變成球形只能變成車輪內胎狀的環形，前面的第四點與后面的第五點能通過中間的孔有連線。上面還提到的從立體形表面外的空間跨過去，跨過去的部分實際上與原來的立體形組成了一個環形，最后也能變成車輪內胎狀。所以得出結論：中間沒穿孔的立體形表面上相互之間都有連線的點最多只能有四個。