2019年高考一輪復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)：壓軸題第二問詳解
來源：網(wǎng)絡(luò)資源 2018-10-19 20:14:54
數(shù)學(xué)高考適應(yīng)性測(cè)試壓軸題第二問的簡(jiǎn)化證明
21．（本小題滿分12分）設(shè)函數(shù) （ ）．
（1）求 的單調(diào)區(qū)間；（2）求 的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；
（3）證明：曲線 沒有經(jīng)過原點(diǎn)的切線．
關(guān)于第二問的簡(jiǎn)化解答如下【原創(chuàng)】
解
知故 在 內(nèi)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)
綜合【1】，【2】得， 當(dāng) 時(shí)， 有且僅有一個(gè)零點(diǎn)。
資料來源--學(xué)科網(wǎng)，天利38套
原參考解答【解析】（1） 的定義域?yàn)?， ．令 ，得 ．
當(dāng) ，即 時(shí)， ，∴ 在 內(nèi)單調(diào)遞增．
當(dāng) ，即 時(shí)，由 解得
， ，且 ，
在區(qū)間 及 內(nèi), ，在 內(nèi)， ，
∴ 在區(qū)間 及 內(nèi)單調(diào)遞增，在 內(nèi)單調(diào)遞減．
（2）由（1）知，當(dāng) 時(shí)， 在 內(nèi)單調(diào)遞增，
∴ 最多只有一個(gè)零點(diǎn)．
又∵ ，∴當(dāng) 且 時(shí)， ；
當(dāng) 且 時(shí)， ，故 有且僅有一個(gè)零點(diǎn)．
當(dāng) 時(shí)，∵ 在 及 內(nèi)單調(diào)遞增，在 內(nèi)單調(diào)遞減，
且
，而 ，
（∵ ），
∴ ，由此知 ，
又∵當(dāng) 且 時(shí)， ，故 在 內(nèi)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)．
綜上所述，當(dāng) 時(shí)， 有且僅有一個(gè)零點(diǎn)．
（3）假設(shè)曲線 在點(diǎn) （ ）處的切線經(jīng)過原點(diǎn)，
則有 ，即 ，
化簡(jiǎn)得： （ ）．（*）
記 （ ），則 ，
令 ，解得 ．當(dāng) 時(shí)， ，當(dāng) 時(shí)， ，
∴ 是 的最小值，即當(dāng) 時(shí)， ．
由此說明方程（*）無解，∴曲線 沒有經(jīng)過原點(diǎn)的切線．
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