高考數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)：函數(shù)導(dǎo)數(shù)不等式(4)

　　36． 解：（Ⅰ）當(dāng) , 時(shí) , ,

　　所以 在  遞增,所以 … …………………………4分

　　（Ⅱ）①當(dāng) 時(shí)， ， ， ， 恒成立,

　　在 上增函數(shù),故當(dāng) 時(shí)， ……… ……………5分

　　②當(dāng) 時(shí)， ， ，

　　（i）    當(dāng) 即 時(shí)， 在 時(shí)為正數(shù)，

　　所以 在區(qū)間 上為增函數(shù),故當(dāng) 時(shí)， ，且此時(shí)  …………7分

　　(ii)當(dāng) ,即 時(shí)，

　　在 時(shí)為負(fù)數(shù)，在間  時(shí)為正數(shù),

　　所以 在區(qū)間 上為減函數(shù)，在 上為增函數(shù),

　　故當(dāng) 時(shí)， ，且此時(shí)  ………………8分

　　(iii)當(dāng) ,即  時(shí)， 在 時(shí)為負(fù)數(shù)，

　　所以 在區(qū)間[1,e]上為減函數(shù)，

　　故當(dāng) 時(shí)， …………… ………………………………………9分

　　綜上所述，函數(shù) 的最小值為   ………10分

　　所以當(dāng) 時(shí),得 ；當(dāng) ( )時(shí),無(wú)解；

　　當(dāng)  （ ）時(shí),得 不成立.  綜上,所求 的取值范圍是 ……………11分

　　（Ⅲ）①當(dāng) 時(shí), 在 單調(diào)遞增,

　　由 ,得  … ………………12分

　　②當(dāng) 時(shí)， 在 先減后增,由 ,

　　得 ,

　　設(shè) , ,

　　所以 單調(diào)遞增且 ，所以 恒成立得 … … …………14分

　　③當(dāng) 時(shí), 在 遞增，在 遞減，

　　在 遞增,所以由  ,

　　得 ,設(shè) ,

　　則 ,所以 遞增，且 ,所以 恒成立，無(wú)解.

　　④當(dāng) 時(shí)， 在 遞增，在 遞減，在 遞增,

　　所以由  得 無(wú)解.

　　綜上,所求 的取值范圍是 ………………16分

　　37． 解答：（1）方程 ，即 ，變形得 ，

　　顯然， 已是該方程的根，從而欲原方程只有一解，即要求方程 ，

　　有且僅有一個(gè)等于1的解或無(wú)解， 結(jié)合圖形得 .   …………………4分

　　（2）不等式 對(duì) 恒成立，即 （*）對(duì) 恒成立，

　　①當(dāng) 時(shí)，（*）顯然成立，此時(shí) ；

　　②當(dāng) 時(shí)，（*）可變形為 ，令

　　因?yàn)楫?dāng) 時(shí)， ，當(dāng) 時(shí)， ，所以 ，故此時(shí) .

　　綜合①②，得所求實(shí)數(shù) 的取值范圍是 .  …………………………………8分

　　（3）因?yàn)?= …10分

　　①當(dāng) 時(shí)，結(jié)合圖形可知 在 上遞減，在 上遞增，

　　且 ，經(jīng)比較，此時(shí) 在 上的最大值為 .

　　②當(dāng) 時(shí)，結(jié)合圖形可知 在 ， 上遞減，

　　在 ， 上遞增，且 ， ，

　　經(jīng)比較，知此時(shí) 在 上的最大值為 .

　　③當(dāng) 時(shí)，結(jié)合圖形可知 在 ， 上遞減，

　　在 ， 上遞增，且 ， ，

　　經(jīng)比較，知此時(shí)  在 上的最大值為 .

　　④當(dāng) 時(shí)，結(jié)合圖形可知 在 ， 上遞減，

　　在 ， 上遞增，且 ,  ，

　　經(jīng)比較，知此時(shí)  在 上的最大值為 .

　　當(dāng) 時(shí)，結(jié)合圖形可知 在 上遞減，在 上遞增，

　　故此時(shí)  在 上的最大值為 .

　　綜上所述，當(dāng) 時(shí)， 在 上的最大值為 ；當(dāng) 時(shí)，  在 上的最大值為 ；當(dāng)  時(shí)，  在 上的最大值為0.………………………………………16分

　　38、解：(Ⅰ)對(duì)任意 ， ，

　　， ，所以 .

　　對(duì)任意的 ，  ，

　　，

　　所以0＜  ，

　　令 ＝ ， ，

　　，所以 .                  ………5分

　　(Ⅱ)反證法:設(shè)存在兩個(gè) 使得 ， 則

　　由 ，得 ，所以 ，矛盾，故結(jié)論成立.  (Ⅲ) ，

　　所以

　　……

　　……

　　＋…+

　　.              ………13分

　　39、解：（1）由題意可得： ， 。

　　（2） ， ，

　　當(dāng) 時(shí)，

　　當(dāng) 時(shí)，

　　當(dāng) 時(shí)， 綜上所述， 。

　　即存在 ，使得 是[-1,4]上的"4階收縮函數(shù)"。

　　（3） ，令 得 或 。函數(shù) 的變化情況如下：

　　x         0         2

　　-    0    +    0    -

　　0         4

　　令 得 或 。

　　（i）當(dāng) 時(shí)， 在 上單調(diào)遞增，因此， ， 。因?yàn)?是 上的"二階收縮函數(shù)"，所以，

　　① 對(duì) 恒成立；

　　②存在 ，使得 成立。

　　①即： 對(duì) 恒成立，由 解得 或 。

　　要使 對(duì) 恒成立，需且只需 。

　　②即：存在 ，使得 成立。

　　由 解得 或 。

　　所以，只需 。綜合①②可得 。

　　（i i）當(dāng) 時(shí)， 在 上單調(diào)遞增，在 上單調(diào)遞減，因此， ， ， ，顯然當(dāng) 時(shí)， 不成立。

　　（i i i）當(dāng) 時(shí)， 在 上單調(diào)遞增，在 上單調(diào)遞減，因此， ， ， ，顯然當(dāng) 時(shí)， 不成立。

　　綜合（i）（i i）（i i i）可得： 。

　　40、解：（Ⅰ） ，（ ），

　　在區(qū)間 和 上， ；在區(qū)間 上， .

　　所以， 的單調(diào)遞減區(qū)間是 和 ，單調(diào)遞增區(qū)間是 .

　　（Ⅱ）設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為 ，則    解得 ， .

　　（Ⅲ）  ，  則 ，

　　解 ，得 ，所以，在區(qū)間 上， 為遞減函數(shù)，

　　在區(qū)間 上， 為遞增函數(shù).

　　當(dāng) ，即 時(shí)，在區(qū)間 上， 為遞增函數(shù)，所以 最大值為 .

　　當(dāng) ，即 時(shí)，在區(qū)間 上， 為遞減函數(shù)，所以 最大值為 .

　　當(dāng) ，即 時(shí)， 的最大值為 和 中較大者；

　　，解得 ，

　　所以， 時(shí)， 最大值為 ，  時(shí)， 最大值為 .

　　綜上所述，當(dāng) 時(shí)， 最大值為 ，當(dāng) 時(shí)， 的最大值為 .

　　41、解：（1）設(shè)過(guò)原點(diǎn) 且和函數(shù) 的圖象相切的切線的切點(diǎn)為 ，則：

　　，又 ，切線 的斜率 ，

　　解 ， ．

　　結(jié)合圖象知，點(diǎn) 與原點(diǎn) 連成直線的斜率取值范圍是 ；………４分

　　（2）由已知可設(shè) 各點(diǎn)的坐標(biāo)分別為

　　則 且 ∴ ∴

　　∵直線 過(guò)原點(diǎn) ，∴ ，∴ ，于是 ，即 ，∴直線 也過(guò)原點(diǎn) ．　………8分

　　（3）當(dāng)直線 與 軸平行時(shí)， ，

　　∴ = ……………10分

　　于是方程 可化為 ，

　　由于 ，且 不是該方程的解，所以原方程等價(jià)于 ，………11分

　　令 ，則 對(duì)一切 成立，

　　所以和 在 和 都是增函數(shù)，   …………………………………13分

　　又因?yàn)?； ，    …………15分

　　所以方程 有且只有兩個(gè)實(shí)根，并且分別在區(qū)間 和 上，

　　所求整數(shù) 的值為1和 ．                     …………………………………16分；

　　42、解：(Ⅰ)由 得到： ，[來(lái)源:學(xué)科網(wǎng)ZXXK]

　　，故 在 有唯一的極值點(diǎn)， ，

　　， ，

　　且知 ，所以最大值為 ．…………………6分

　　(Ⅱ) ，又 有兩個(gè)不等的實(shí)根 ，

　　則 ，兩式相減得到:  …………………8分[來(lái)源:學(xué)科網(wǎng)]

　　于是

　　， …………………10分

　　要證： ，只需證：

　　只需證：        ①

　　令 ，只需證： 在 上恒成立，

　　又∵

　　∵ ，則 ，于是由 可知 ，

　　故知  在 上 為增函數(shù)，

　　則 ，從而知 ，即①成立，從而 原不等式成立.………15分

　　43、 解：（1）設(shè) ，

　　∵ 是偶函數(shù)，∴ ，∴ ；      （4分）

　　（2）設(shè)

　　∴    （8分）

　　由 知， ，∴      （11分）

　　（3）設(shè)

　　∵ 是偶函數(shù)，∴ ，

　　即 ，∴ 得   （13分）

　　則

　　，∵ 有最小值則必有 ，且有

　　∴ ，   16分

　　在 上為增函數(shù)，在 上為減函數(shù)．18分

　　44、解：(1)當(dāng)a=-2，f(x)=-2x2+8x+3最大值11，令|f(x)|=5只須考慮-2x2+8x+3=5

　　得x=2± . 如圖， (a)=2- .

　　(2) f（x）=a（x+ ）2+3﹣ ．

　　（1）當(dāng)3﹣ ＞5，即﹣8＜a＜0時(shí)，

　　l（a）是方程ax2+8x+3=5的較小根，故l（a）= ．

　　（2）當(dāng)3﹣ ≤5，即a≤﹣8時(shí)，

　　l（a）是方程ax2+8x+3=﹣5的較大根，故l（a）= ．

　　綜合以上，l（a）=

　　當(dāng)a≤﹣8時(shí)，l（a）= = ≤ = ；

　　當(dāng)﹣8＜a＜0時(shí)，l（a）= = ＜ ＜ ．

　　所以a=﹣8時(shí)，l（a）取得最大值 ．

　　三、考前熱身

　　1、   2、           。    3、(1) 3    　。 (2) 0＜a＜2且a ，4、     -2      。  5、　 　．

　　6、   7、    8、1或-1    9、充分必要條件  10、    11、   12

　　13、3   14、      15、   16、   17、    18、4  19、 20、1    21、　4　．

　　22、解：（Ⅰ）依題意，有 ， ．因此， 的解析式為 ；

　　（Ⅱ）由 （ ）得 （ ），解之得 （ ）

　　由此可得  :  且 ，所以實(shí)數(shù) 的取值范圍是 ．

　　23、解：（Ⅰ） ，  依題意有 ，故 ．

　　從而 ．

　　的定義域?yàn)?，當(dāng) 時(shí)， ；

　　當(dāng) 時(shí)， ；       當(dāng) 時(shí)， ．

　　從而， 分別在區(qū)間 單調(diào)增加，在區(qū)間 單調(diào)減少．

　　（Ⅱ） 的定義域?yàn)?， ．

　　方程 的判別式 ．

　　（ⅰ）若 ，即 ，在 的定義域內(nèi) ，故 的極值．

　　（ⅱ）若 ，則 或 ．

　　若 ， ， ．

　　當(dāng) 時(shí)， ，當(dāng) 時(shí)， ，所以 無(wú)極值．

　　若 ， ， ， 也無(wú)極值．

　　（ⅲ）若 ，即 或 ，則 有兩個(gè)不同的實(shí)根 ， ．

　　當(dāng) 時(shí)， ，從而 有 的定義域內(nèi)沒(méi)有零點(diǎn)，故 無(wú)極值．

　　當(dāng) 時(shí)， ， ， 在 的定義域內(nèi)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，由根值判別方法知 在 取得極值．綜上， 存在極值時(shí)， 的取值范圍為 ．

　　的極值之和為 ．